Murillo Cabral Silva Fonseca,30 anos, especialista em  matemática, professor efetivo na Rede Estadual de Educação de Mato Grosso.

Segundo o matemático a paixão pelos números  o inspira, pois a matemática dos fractais governa o crescimento de diversas bioestruturas na natureza, confira o artigo na integra;

A Matemática na Natureza

 Em um artigo sobre geometria fractal publicado em 2007 pela Universidade Federal do Paraná (UFPR), os autores Ricardo Rinaldi e Marizilda Menezes definem que “os fractais são formas geométricas abstratas de uma beleza incrível, com padrões completos que se repetem infinitamente”.

Estudos realizados pelo matemático francês Benoit Mandelbrot (1924 – 2010) revelaram que os fractais descrevem configurações na natureza e que de alguma maneira moldam o universo. Mandelbrot deve estar certo, pois, afinal, quando olhamos em volta, por toda a parte notamos regularidade, proporção, simetria e equilíbrio. Quer seja a estrutura de um romanesco (Figura 1) ou mesmo a arquitetura de um floco de neve (Figura 2), tudo parece ser regido por leis elegantemente geométricas.

Figura 1 – Brócolis romanesco, um exemplo de fractal na natureza.

Fonte: marquesices.blogspot.com.

Figura 2 – Características fractais em um floco de neve.

Fonte: tumblr.com.

A matemática dos fractais mostra que é possível encontrar padrões em coisas aparentemente caóticas como, por exemplo, na configuração das galhos de uma árvore sangue de dragão (Figura 3).

Figura 3 – Outros exemplos de fractais na natureza. Fileira 1, da esquerda para a direita: náutilo, estalactites, repolho. Fileira 2, da esquerda para a direita: samambaia, cristais de bismuto, babosa. Fileira 3, da esquerda para a direita: flor da árvore de macaco, casca de caracol, árvore sangue do dragão.

Fonte: www.mdig.com.br.

Ao longo dos anos, diversas relações matemáticas foram descobertas na natureza, ratificando ainda mais a alegação feita por Galileu de que a Matemática é a linguagem do universo. Como exemplo, tomemos o caso da espécie Cymbiola rossiniana, um tipo de caracol marinho, cujos padrões elegantemente estampados em sua concha (Figura 4) são encontrados no famoso Triângulo de Sierpinski (Figura 5) – uma das formas elementares da geometria fractal – primeiramente descrito pelo matemático polonês Waclaw Sierpinski.

O processo de construção do Triângulo de Sierpinski consiste em partir de um triângulo equilátero. Posteriormente, deve-se ligar os pontos médios de cada lado do triângulo, formando 1 triângulo central (que não faz parte do fractal), ladeado por 3 novos triângulos, congruentes. Em seguida, retira-se o triângulo do centro. Repete-se, então, indefinidamente esse processo. A Figura 5 apresenta os primeiros estágios do processo. Haja vista que os triângulos em branco não pertencem ao fractal.

Figura 4 – Caracol Cymbiola rossiniana. Os padrões gravados em sua concha imitam o triângulo de Sierpinski.

Fonte: picclick.com.

Figura 5 – Os primeiros estágios do triângulo de Sierpinski.

Fonte: commons.wikimedia.org.

Como se pode notar na Figura 5, a cada nova iteração, os triângulos subsequentes formados são semelhantes ao triângulo original. Isso caracteriza o Triângulo de Sierpinsk como um fractal, pois, conforme Barbosa (2005, p.18), “um fractal é uma forma cujas partes se assemelham ao seu todo sob alguns aspectos”.

Um outro bom exemplo de forma geométrica fractal na natureza, principalmente encontrado na estrutura dos flocos de neve (Figura 2), é a Estrela de Koch – cujo nome e devido a Niels Fabian Helge Van Koch.

A construção de uma Estrela de Koch se inicia com um triângulo equilátero. Em seguida, se divide cada lado desse triângulo original em três segmentos de mesma medida. Logo após, se desenha um triângulo equilátero cuja base é o segmento central, o qual deve ser retirado da figura. Ao final dessa primeira interação, três novos triângulos são formados, criando-se uma estrela de seis pontas. O processo deve ser repetido indefinidamente, tanto quanto se queira. A figura tomará forma mediante o número de iterações realizadas.

Figura 6 – Os primeiros estágios da estrela de Koch.

Fonte: matematicaparatodos-fernanda.blogspot.com.

Formado pela sobreposição de pentágonos regulares, o Fractal Pentagonal de Dürer foi publicado pelo artista Albrecht Dürer em seu livro The Painter’s Manual.

A construção do fractal se inicia com um único pentágono. A partir da primeira iteração, dentro de cada pentágono são inscritos outros cinco, conforme mostrado na Figura 7.

Figura 7 – Primeiras etapas da construção do Fractal Pentagonal de Dürer.

Fonte: entendifractais.files.wordpress.com

Note que se constrói um pentágono inicial. Em seguida, se constrói 5 pentágonos menores e congruentes no interior do pentágono inicial. Segue-se construindo 5 novos pentágonos no interior de cada pentágono originado na etapa precedente.

As características do Fractal Pentagonal de Dürer podem ser observadas na geometria de diversas espécies de flores, como a Hoya carnosa, também conhecida como flor-de-cera (mostrada na Figura 8).

Figura 8 – Hoya carnosa.

Fonte: fazfacil.com.br.

A Árvore de Pitagórica é um fractal que leva esse nome por causa de sua estrutura baseada no Teorema de Pitágoras, segundo o qual a soma dos quadrados das medidas dos catetos em um triângulo retângulo qualquer é igual ao quadrado da hipotenusa. Por exemplo, 5² = 3² + 4². Geometricamente:

Figura 9 – Representação geométrica do Teorema de Pitágoras. Nela, a soma das áreas (em azul e amarelo) dos catetos é numericamente igual a área (em vermelho) da hipotenusa do triângulo retângulo. Nesse caso, a hipotenusa mede 5 unidades de medida e os catetos medem 3 e 4 unidades de medida.

O primeiro passo para se dar forma a uma Árvore Pitagórica é desenhar um quadrado e em seguida, sobre o quadrado inicial, justapor quadrados que satisfaçam o Teorema de Pitágoras. O processo deve ser repetido tanto quanto se queira. Quanto mais iterações foram realizadas, mais o fractal assumirá o formato de uma árvore, ou mesmo de plantas como a samambaia.

Observe (Figura 10) como fractais desse tipo estão relacionados ao arranjo dos galhos das árvores.

Figura 10 – Diferentes fractais do tipo Árvore de Pitágoras. Note o teorema de Pitágoras formando os galhos.

Fonte: codegolf.stackexchange.com.

A arquitetura característica da samambaia também refleti os padrões de uma Árvore Pitagórica:

Figura 11 – Fractal relativo a estrutura da samambaia.

Figura 12 – Geometria fractal de um báculo de samambaia.

Os padrões geométricos encontrados a nossa volta são formidáveis. A geometria fractal pode ser observada desde a estrutura de um romanesco até a configuração exibida por báculos de samambaias. Isso mostra que Galileu estava indubitavelmente correto ao alegar que a Matemática é a linguagem do mundo.

Muitos segredos estão resguardados pelo universo acerca das leis que regem sua mecânica e estrutura. Desvendá-los nos permitirá compreender essas leis e possibilitará nosso entendimento no que concerne à verdadeira natureza do cosmo.